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プログラマ、雑記、プログラミング関係はLinkから、数式はこっちでまとめていることが多い

平均と調和平均とよく例に挙がる行き帰り全体における時速

分析していると、算術平均じゃ表せないものがたまにでてきます。

目次

ある1つのグループの代表的な値としての平均

平均を代表的な値とすると違和感がある場合に使います。

  • 中央値
  • 最頻値

異なるグループにおける平均

  • 加重平均
  • 幾何平均
  • 調和平均

加重平均

  • 国際化を理由に英語は国語より2倍重要だとした時、国語と英語の平均を求める場合
  • ある人数の異なるグループABCのそれぞれ平均から、全体の平均を求める場合

2つ目については、全体の個々の値がわかっていれば、値の和を全体の個数で割ればよいです。

幾何平均

例:年成長率

1年目の成長率を1(100%)としたとき、N年目の前年比成長率が以下のとおりだとすると

  1. 2
  2. 4
  3. 6

4年目終了時には48倍に成長しています。年成長率をxとすると、xの3乗である48が4年目終了時の成長を表します。

※↓3乗根です(MathJaxがうまく効かない?)

 {
\sqrt{2 * 4 * 6} \simeq 3.634241185664279
}

上記より、N年目終了時の成長度合いがわかっていれば年成長率を求められます。

これ以外に例を知らないことが問題…。

調和平均

まずは調和平均の式、nはデータの個数です。

 {
\frac{n} {\frac{1} {x_1} + \frac{1} {x_2} + ... + \frac{1} {x_n}}
}

本当は、個々の値の逆数の和の算術平均より、分子のnは分母の分母だそうです。

タイトルにもある行き帰り全体における時速で理解しました。

行き:4km/h、帰り:6km/hの場合、行き帰り全体における時速は4.8km/hです。

式に当てはめると、

  • 行き帰りよりデータの個数は2
  • 1/4 + 1/6 = (3+2)/12
  • よって、2/(5/12) = 24/5 = 4.8
行き帰りよりデータの個数は2
 {\frac{1} {4} + \frac{1} {6} = \frac{3+2} {12}} 
 {\frac{2} {\frac{5} {12}} = \frac{24} {5} = 4.8}

自分の理解の仕方

距離と時間と速さの関係は、 - 距離 = 速さ * 時間 - 速さ = 距離 / 時間 - 時間 = 距離 / 速さ

今回の場合、 - 距離は行き帰りで変わらないので固定 - 距離を1kmと仮定する - 上記より行き帰りの時間はそれぞれ、 1km/(4km/h) と1km/(6km/h)

これより、

 {
\frac{1 + 1} {\frac{1} {4} + \frac{1} {6}}
}

データによらず、個数によって決定される分子と、それぞれの値によって変わる値の総和の分母と捉えることができました。重みとして捉える加重平均と同じで、全体をもとめるために個々を正しく解釈することだとわかりました。

これ以外に例を知らないことが問題…。

ABCの各人パフォーマンスの違いがある人たちで仕事を行ったとき、最終的にどれくらいの時間で終わらせられるかの例を見て、各仕事の仕事量の平均なんだなと。行き帰りであれば行き帰りする人は同じであるが、同じ目的(ある距離を完走?)に向かって別の走る能力を持つ2人で達成したと考えるとしっくりきました。

行き帰りの例で、4.8と求められた値と各値(4, 6)の絶対値は、0.8と1.2となり、この比は4:6と同じであるというのも見かけました。ただし、3つ以上にした時の解釈がわからなくて断念中…。あとで調べてみる。そもそも調和とは釣り合うこと、という意味らしく比が釣り合っていることと関係しているのかも?

まとめ

  • 平均は算術平均だけではない
  • 正しく平均を理解して、適切な平均を用いてデータの代表値を求める

番外まとめ

  • tex表記めんどいけど、理解が深まる表現になる
  • contents目次便利だけど、すべての見出しを反映してしまう